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2013年3月18日星期一

標準差

標準差 (Standard Deviation)，也稱均方差（Mean square error）

標準差概述

　　標準差是一種表示分散程度的統計觀念。標準差已廣泛運用在股票以及共同基金投資風險的衡量上，主要是根據基金凈值於一段時間內波動的情況計算而來的。一般而言，標準差愈大，表示凈值的漲跌較劇烈，風險程度也較大。實務的運作上，可進一步運用單位風險報酬率的概念，同時將報酬率的風險因素考慮在內。所謂單位風險報酬率是指衡量投資人每承擔一單位的風險，所能得到的報酬，以夏普指數最常為投資人運用。

　　標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。

　　例如，兩組數的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ，但第二個集合具有較小的標準差。

　　標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重覆性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差占有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。

標準差的簡易計算公式

　　假設有一組數值 x1, ..., xN （皆為實數），其平均值為：

　　 $\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$

　　此組數值的標準差為：

　　 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}$

　　一個較快求解的方式為：

　　 $\sigma = \sqrt{{\sum_{i=1}^N x_i^2}\over{N}\left({\sum_{i=1}^N{x_i}\over{N}}\right)^2\ } = \sqrt{\frac{N\sum_{i=1}^N{{x_i}^2} - \left(\sum_{i=1}^N{x_i}\right)^2}{N^2}}$

　　一隨機變數X 的標準差定義為：

　　 $\sigma = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}X)^2)} = \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}$

　　須註意並非所有隨機變數都具有標準差，因為有些隨機變數不存在期望值。如果隨機變數 X 為 x1,...,xN 具有相同機率，則可用上述公式計算標準差。從一大組數值當中取出一樣本數值組合 x1,...,xn ，常定義其樣本標準差：

　　 $s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}$

範例：標準差的計算

　　這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為 { 5, 6, 8, 9 } ：

　　第一步，計算平均值

　　 $\overline{x}$

　　 $\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$

　　n = 4 （因為集合里有 4 個數），分別設為： $x_1 = 5\,\!$ ， $x_2 = 6\,\!$ ， $x_3 = 8\,\!$ ， $x_4 = 9\,\!$

　　 $\overline{x}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_i$ 用 4 取代 N

　　 $\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( x_1 + x_2 + x_3 +x_4 \right )$

　　 $\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( 5 + 6 + 8 + 9 \right )$

　　 $\overline{x}= 7$ 此為平均值。

　　第二步，計算標準差 $\sigma\,\!$

　　 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}$

　　 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - \overline{x})^2}$ 用 4 取代 N

　　 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - 7)^2}$ 用 7 取代 $\overline{x}$

　　 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (x_1 - 7)^2 + (x_2 - 7)^2 + (x_3 - 7)^2 + (x_4 - 7)^2 \right ] }$

　　 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (5 - 7)^2 + (6 - 7)^2 + (8 - 7)^2 + (9 - 7)^2 \right ] }$

　　 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( (-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 \right ) }$

　　 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( 4 + 1 + 1 + 4 \right ) }$

　　 $\sigma = \sqrt{\frac{10}{4}}$

　　 $\sigma = 1.5811\,\!$

標準差與平均值之間的關係

　　一組數據的平均值及標準差常常同時做為參考的依據。在直覺上，如果數值的中心以平均值來考慮，則標準差為統計分佈之一"自然"的測量。較確切的敘述為：假設 x1, ..., xn 為實數，定義其公式

　　 $\sigma(r) = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - r)^2}$

使用微積分，不難算出 σ(r) 在下麵情況下具有唯一最小值：

　　 $r = \overline{x}$

標準偏差與標準差的區別

　　標準差(Standard Deviation)各數據偏離平均數的距離（離均差）的平均數，它是離差平方和平均後的方根。用σ表示。因此，標準差也是一種平均數。標準差是方差的算術平方根。　　標準差能反映一個數據集的離散程度。平均數相同的，標準差未必相同。

　　例如，A、B兩組各有6位學生參加同一次語文測驗，A組的分數為95、85、75、65、55、45，B組的分數為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數都是70，但A組的總體標準差為17.08分，B組的總體標準差為2.16分，說明A組學生之間的差距要比B組學生之間的差距大得多。

　　標準偏差(Std Dev,Standard Deviation) - 統計學名詞。一種量度數據分佈的分散程度之標準，用以衡量數據值偏離算術平均值的程度。標準偏差越小，這些值偏離平均值就越少，反之亦然。標準偏差的大小可通過標準偏差與平均值的倍率關係來衡量。

標準差的應用分析

標準差在投資決策中的應用^[1]

　　投資是企業生產經營和發展壯大的必要手段。投資者作出投資決策時，不僅要考慮預期回報，還必須分析比較投資風險。

　　由於投資風險的客觀存在性及其對投資收益的不利性，投資者在進行投資決策時必須而且也應該對投資風險進行分析，儘可能地測定和量化風險的大小。

　　1、用標準差衡量風險大小。此時的標準差計算公式如下：

　　 $\sigma=\sqrt{\sum^{n}_{i=1}P_i(r_i-\bar{r})^2}$

　　 $\bar{r}=\sum^{n}_{i=1}P_ir_i$

　　其中

σ

為標準差，

P i

為期望投資收益率，

P i

為一系列可能性事件發生的概率，

r i

為可能性事件發生時的投資收益。標準差值越小，說明投資風險越小。

　　假設投資者要在A、B兩個項目中選擇一個或兩個項目進行投資。估計第二年每個項目的收益率可能有四個結果，每個結果都有一個確定的概率與之對應。如下表所示，表中r為收益率，p為收益率實現的可能性。

　　表1 A、B兩項目的收益率分佈

	A項目		B項目
	r	p	r	p
1	0.2	0.25	1.0	0.05
2	0.14	0.25	0.6	0.2
3	0.10	0.25	0.1	0.7
4	0.04	0.25	-1.0	0.05

　　投資項目A、B的期望收益率分別為：

　　 $\bar{r_A}=0.2\times 0.25+0.14\times 0.25+0.2\times 0.25+0.04\times 0.25=12%$

　　 $\bar{r_B}=1.0\times 0.05+0.6\times 0.2+0.1\times 0.7+(-1.0)\times 0.05=19%$

　　計算結果表明，A項目的期望收益率小於B項目。但從收益率的分佈看，A項目的收益率在4％～20%之間波動，變動範圍小；而B項目收益率從-100％到+100％，變動範圍大。收益率的變動大小反映了風險的大小，收益率變動大，風險就大。根據公式(3)計算得：

σ A = 5.83%

，

σ B = 37.80%

。這是不是說明B項目的風險更大呢?從數學角度看，B項目標準差大可能來源於B項目的各種可能收益都比較大。

　　2、標準差的局限性。當不同項目的期望回報率相同時，用標準差衡量風險程度是合適的，否則就不能再用標準差而必須用一個相對的風險指標。取標準差與期望值的比率 $CV=\sigma/\bar{t}$ ；，稱為變異繫數或標準離差，該值越大反映項目的風險越大。

　　可以計算項目A的變異繫數 $CV=\frac{5.83%}{12%}=0.487$ ,項目B的變異繫數 $CV=\frac{37.8%}{19%}=1.99$ 。這個時候就可以說B項目風險更大。

標準差在股市分析中的應用^[1]

　　股票價格的波動是股票市場風險的表現，因此股票市場風險分析就是對股票市場價格波動進行分析。波動性代表了未來價格取值的不確定性，這種不確定性一般用方差或標準差來刻畫(Markowitz，1952)。下表是中國和美國部分時段的股票統計指標，其中中國證券市場的數據由“錢龍”軟體下載，美國證券市場的數據取自ECI的“world stock Excllarlge Data Disk”。

　　表2股票統計指標

年份	業績表現		波動率
年份	上證綜指	標準普爾指數	上證綜指	標準普爾指數
1996	110.93	16.46	0.2376	O.0573
1997	-0.13	31.01	O.1188	O.0836
1998	8.94	26.67	O.0565	O.0676
1999	17.24	19.53	O.1512	0.0433
2000	43.86	-10.14	0.097	0.0421
2001	-15.34	-13.04	O.0902	O.0732
2002	-20.82	-23.37	O.0582	O.1091

　　通過計算可以得到：

　　上證綜指業績期望值≈(110.93-0.13+8.94+17.24+43.86-15.34-20.82)/7=20.67

　　上證波動率期望值≈0.1156

　　標準普爾業績期望值≈6.7214

　　標準普爾波動率期望值≈0.0680

　　而標準差的計算公式則根據公式(2)計算：

　　上證綜指的業績標準差

　　 $=\{ \frac{1}{6}[(110.93-20.67)^2+(0.13-20.67)^2+(8.94-20.67)^2+(17.24-20.67)^2+(43.86-20.67)^2+(-15.34-20.67)^2+(-20.82-20.67)^2]\}^{\frac{1}{2}}\approx 45.2457$

　　上證波動率標準差≈0.0632

　　標準普爾指數業績標準差≈21.71

　　標準普爾波動率標準差≈0.02365

　　因為標準差是絕對值，不能通過標準差對中美直接進行對比，而變異繫數可以直接比較。計算可得：

　　上證業績變異繫數≈45.2457/20.67≈2．1889

　　上證波動率變異繫數≈0.0632/0.1156≈0.5467

　　標準普爾業績變異繫數≈21.71/6.7214≈3.2299

　　標準普爾波動率變異繫數≈0.02365/0.0680≈0.3478

　　通過比較可以看出上證波動率變異繫數要大於標準普爾波動率變異繫數，說明長期來講中國股市穩定性相對較差，還是一個不太成熟的股票市場。

標準差在確定企業最優資本結構中的應用^[1]

　　資本結構指的是企業各種資金來源的比例關係，是企業籌資活動的結果。最優資本結構是指能使企業資本成本最低且企業價值最大的資本結構；產權比率，即借入資本與自有資本的構成比例，是反映企業資本結構的重要變數。企業的資產由債務性資金和權益性資金組成，但其風險等級和收益率各不相同。根據投資組合理論，投資的多樣化可以分散掉一定的風險，因此資金提供者需要決定投資於債務性資金和權益性資金的比例。以便在權衡風險和收益的情況下保證其利益的最大化。

　　理論探索而外部資金提供者利益的最大化也就是企業價值的最大化，這一投資比例對於企業融資而言也就是企業的最優資本結構比例。

　　假定某企業的資金通過發行債券和股票兩種方式獲得，並且都屬於風險性資產。

σ

其中債券的收益率為

r D

，風險通過標準差

σ D

來衡量；股票的收益率為

r E

，風險為

σ E

；股票和債券的相關係數為

p D E

，協方差為

C O V (r D, r E)

；債券所占的比重為

w D

，股票所占比重為

W E (W D + W E = 1)

。根據投資組合理論，企業外部投資者對該企業投資所獲的期望收益率為

E (r p) = W D E (r D) + w E E (r E)

，方差為 $\sigma^2=w_D^2\sigma_D^2+w_E^2\sigma^2_{E}+2p_{DE}W_E\sigma_EW_D\sigma_{Do}$

　　1、企業債務性資金和權益性資金完全正相關，即相關係數

p D E

為1。企業外部投資者獲得的期望收益率為

E (r p) = w D E (r D) + w E E (r E)

，風險標準差為

σ = w D σ D + w E σ E

,也就是組合的標準差等於各個部分標準差的加權平均值，通過投資組合不可能分散掉投資風險。根據投資組合理論，投資組合的不同比例對於投資者而言是無差異的。

　　2、企業債務性資金和權益性資金完全負相關，即其相關係數為-1。投資者獲得的報酬率的期望值及其方差分別為 $E(r_p)=w_DE(r_D)+w_EE(r_E),\sigma^2=w_{D}^2\sigma^2_{E}+2\times(-1)w_E\sigma_Ew_D\sigma_{D}$ 。

　　根據投資組合理論，只有當投資比例大於

σ E / (σ D + σ E)

時其投資組合才是有效的。對於企業籌資而言，也即企業的權益性資金的比例大幹

σ E / (σ D + σ E)

，企業的籌資比例才是有效的，而且當組合比例為

σ E / (σ D + σ E)

時，企業的籌資組合風險為零。

　　3、企業債務性資金和權益性資金的相關係數大於-1小於1。理論上，一個企業的兩種籌資方式之間的相關程度較高，一方面兩種籌資方式都承擔系統風險，另一方面它們也承擔相同的公司風險。因此從實踐來看，企業的不同籌資方式間的相關程度不可能是完全的正相關和負相關。對於一個企業而言，債務性資金對企業有固定的要求權，權益性資金對企業只有剩餘要求權，因此債務性資金的波動不可能像權益性資金的波動那麼大。同時企業的風險會同時影響企業的債務性資金和權益性資金，因此企業的債務性資金和權益性資金的相關係數不可能為負數。企業不同的籌資方式間的相關係數一般在0-1之間。

　　那麼究竟在什麼比例下企業的價值才會達到最大呢?根據投資組合理論，當

E (r 1) > E (r 2)

，且 $\sigma(r_1)\le\sigma(r_2)$ 時，才能出現

r 1

，優於

r 2

。可見，決定企業資本結構的直接因素主要是不同籌資方式的收益率和風險以及它們之間的相關係數。

參考文獻

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 陳未.淺析標準差在經濟上的應用.《當代經濟》.2009年第02期

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2013年3月16日星期六

初識基金

什麼是共同基金？

大眾集資交給基金公司，由基金公司的理財專家投資管理此筆金錢，其賺賠的風險則歸投資大眾共同承擔。由證券投資信託公司（基金公司）以發行受益憑證的方式，召募社會大眾資金，累積成為一大筆錢後，委由專業的基金經理人管理並運用其資金於適當之管道，如股票、債券等，當其投資獲利時由投資大眾分享，賠錢時由大眾分攤。

投資共同基金的好處

集合小錢變大錢
共同基金因集合了數千人至數十萬人以上的小額資金，將其匯整為一大筆錢來為大眾賺錢而資金越大在金融市場上往往可以爭取到比較優惠的條件或折扣，同時可以進行投資組合，提高投資勝算，且基金可用定時定額的方式投資，最低只要每月三千元，對於許多金融商品的投資限制小了很多。

分散投資風險
投資一檔基金相當於投資人同時持有二、三十支個股，因此可輕鬆享有分散投資風險的好處。

專家經營管理
理財工具的多樣化與專業化，實在不是一般投資人所能掌握，所以委由相關的專業人士代為操作，以其專業的素養及經驗再加上其背後提供資訊的研究團隊，自然能有高水準的利潤。

很容易換回現金
在我們購買基金之後如急需要用錢，可至基金公司要求賣回或至股票市場（封閉式）將其賣出，變現容易，基金公司一定要依淨值回買，不會有賣不掉之情況。

安全有保障
共同基金的運作中，為了確保資產的安全性和操作的專業性，共同基金的經理與保管業務分開，且其資產存放於獨立的基金專戶，為共同基金組成結構和運作上的最大特色。

買基金有什麼風險

市場風險
市場風險是基金最主要的風險來源，一旦金融市場有所波動則就會影響其投資工具的價值，例如投資台灣股市的基金，每當政策改變、投信大賣、外資撤離或市場失去信心時，股市可能一落千丈，而我們所投資的基金也就必須承擔淨值下跌的風險。

匯兌風險
投資國外的共同基金因為海外基金以外幣為計價單位，資金將換成外幣或是由外幣換回台幣，而其間就可能發生匯差的風險。

利率風險
利率風險是指利率的大幅上漲或下跌時所帶來的損失，其中以主要投資於債券、票券、存款的債券型基金所受的影響最直接。

監管風險
大多數的共同基金從業人員、公司和主管機構的監管制度都以保護投資者的利益為最高原則，但制度的執行也有可能疏失的地方，進而影響投資大眾的權利。

和其它工具的比較

	投資金額	平均報酬	風險性	變現性
共同基金	小	中高	中	高
定期存款	小	低	低	中
股票	不一定	高	高	高
債券	大	低	低	中
跟會	小	中高	中	中
房地產	大	中	中	低
黃金	小	低	低	中
外匯	中	中	中	高
期貨	大	高	高	高

如何挑選基金

購買能力
指的是我們們有多少能力購買基金，如果錢不是問題那就繼續參考以下的因素

基金績效
基金的歷年績效（亦即基金操作之報酬率）將是重要的參考指標，建議尤其是三年以上的投資報酬率，因為購買基金最好從事長期的投資，所以長期的表現就格外的重要，所謂績效好壞的認定是要以同一類型的基金來做比較，如此才具有準確性及客觀性

基金經理人
一個好的基金經理人能在多頭行情中造就比大盤優異的績效，在空頭市場時則能分散風險降低損失，這都要歸功於基金經理人的能力，經驗，反應，所以公開說明書中記載的經理人學經歷，及各管道的消息都是必要留意的

產品特色
基金的產品特色是相重要的，其投資標的及區域是一重大投資指標，投資人須搜集相當程度的市場情報後，認為其基金的投資標的具投資遠景再下決定

基金費用
在購買之前需要對基金的全部相關費用做一了解後，再選擇費用較低者做為標的

如何買賣共同基金

買賣基金所能透過的管道，依基金種類為國內或海外基金而有所不同，若是國內基金，可透過發行該基金的投信或代銷銀行來申購或贖回；至於海外基金，則必須經由代銷銀行來辦理。

除了以上的管道，近年來電子商務的交易量已呈現倍數成長的走勢，而在八十八年五月證期會已核准基金的網路交易，帶來基金投資交易一種更便利的機制

銷售機構申購

1. 向各銷售機構（投信公司、代銷銀行）索取申購書，印鑑卡
2. 填寫申購書及印鑑卡及用印
3. 匯款至基金專戶
4. 將填妥的申購書，印鑑卡及匯款收據於交易時間內傳真至銷售機構
5. 將申購書及印鑑卡正本郵寄或親自送交銷售機構
6. 取得受益人收執單據
7. 完成交易

銷售機構贖回

1. 攜帶身分證、印章、受益憑證（或保管單）至銷售機構填妥買回申請書
2. 繳交買回申請書
3. 完成交易
4. 於買回日起五日內給付價款（以匯款或支票方式給付）

線上買賣基金

1. 由網路下載或向投信索取網路下單申請書
2. 將申請書客戶資料及身分證影本寄至投信公司
3. 投信公司確認無誤後，將交易密碼及操作說明寄交投資人
4. 以交易密碼帳號於網上進行各式基金交易

如何計算賺賠？

由於大部分的基金已將投資的損益、費用及配息狀況反應在淨值中，所以投資人可以在投信公司每月發行的對帳單中，清楚瞭解您投資該基金的所發生的盈虧。

其簡易計算如下：

您的總受益單位數× 今日基金淨值－您的總成本
＝您的投資盈虧

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