標準差

標準差 (Standard Deviation)，也稱均方差（Mean square error）

標準差概述

　　標準差是一種表示分散程度的統計觀念。標準差已廣泛運用在股票以及共同基金投資風險的衡量上，主要是根據基金凈值於一段時間內波動的情況計算而來的。一般而言，標準差愈大，表示凈值的漲跌較劇烈，風險程度也較大。實務的運作上，可進一步運用單位風險報酬率的概念，同時將報酬率的風險因素考慮在內。所謂單位風險報酬率是指衡量投資人每承擔一單位的風險，所能得到的報酬，以夏普指數最常為投資人運用。

　　標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。

　　例如，兩組數的集合 {0, 5, 9, 14} 和 {5, 6, 8, 9} 其平均值都是 7 ，但第二個集合具有較小的標準差。

　　標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中，做重覆性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差占有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解，因為值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。

標準差的簡易計算公式

　　假設有一組數值 x1, ..., xN （皆為實數），其平均值為：

　　 $\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$

　　此組數值的標準差為：

　　 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}$

　　一個較快求解的方式為：

　　 $\sigma = \sqrt{{\sum_{i=1}^N x_i^2}\over{N}\left({\sum_{i=1}^N{x_i}\over{N}}\right)^2\ } = \sqrt{\frac{N\sum_{i=1}^N{{x_i}^2} - \left(\sum_{i=1}^N{x_i}\right)^2}{N^2}}$

　　一隨機變數X 的標準差定義為：

　　 $\sigma = \sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}X)^2)} = \sqrt{\operatorname{E}(X^2) - (\operatorname{E}(X))^2}$

　　須註意並非所有隨機變數都具有標準差，因為有些隨機變數不存在期望值。如果隨機變數 X 為 x1,...,xN 具有相同機率，則可用上述公式計算標準差。從一大組數值當中取出一樣本數值組合 x1,...,xn ，常定義其樣本標準差：

　　 $s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \overline{x})^2}$

範例：標準差的計算

　　這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為 { 5, 6, 8, 9 } ：

　　第一步，計算平均值

　　 $\overline{x}$

　　 $\overline{x}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i$

　　n = 4 （因為集合里有 4 個數），分別設為： $x_1 = 5\,\!$ ， $x_2 = 6\,\!$ ， $x_3 = 8\,\!$ ， $x_4 = 9\,\!$

　　 $\overline{x}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_i$ 用 4 取代 N

　　 $\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( x_1 + x_2 + x_3 +x_4 \right )$

　　 $\overline{x}=\frac{1}{4} \left ( 5 + 6 + 8 + 9 \right )$

　　 $\overline{x}= 7$ 此為平均值。

　　第二步，計算標準差 $\sigma\,\!$

　　 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}$

　　 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - \overline{x})^2}$ 用 4 取代 N

　　 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \sum_{i=1}^4 (x_i - 7)^2}$ 用 7 取代 $\overline{x}$

　　 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (x_1 - 7)^2 + (x_2 - 7)^2 + (x_3 - 7)^2 + (x_4 - 7)^2 \right ] }$

　　 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left [ (5 - 7)^2 + (6 - 7)^2 + (8 - 7)^2 + (9 - 7)^2 \right ] }$

　　 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( (-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 + 2^2 \right ) }$

　　 $\sigma = \sqrt{\frac{1}{4} \left ( 4 + 1 + 1 + 4 \right ) }$

　　 $\sigma = \sqrt{\frac{10}{4}}$

　　 $\sigma = 1.5811\,\!$

標準差與平均值之間的關係

　　一組數據的平均值及標準差常常同時做為參考的依據。在直覺上，如果數值的中心以平均值來考慮，則標準差為統計分佈之一"自然"的測量。較確切的敘述為：假設 x1, ..., xn 為實數，定義其公式

　　 $\sigma(r) = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - r)^2}$

使用微積分，不難算出 σ(r) 在下麵情況下具有唯一最小值：

　　 $r = \overline{x}$

標準偏差與標準差的區別

　　標準差(Standard Deviation)各數據偏離平均數的距離（離均差）的平均數，它是離差平方和平均後的方根。用σ表示。因此，標準差也是一種平均數。標準差是方差的算術平方根。　　標準差能反映一個數據集的離散程度。平均數相同的，標準差未必相同。

　　例如，A、B兩組各有6位學生參加同一次語文測驗，A組的分數為95、85、75、65、55、45，B組的分數為73、72、71、69、68、67。這兩組的平均數都是70，但A組的總體標準差為17.08分，B組的總體標準差為2.16分，說明A組學生之間的差距要比B組學生之間的差距大得多。

　　標準偏差(Std Dev,Standard Deviation) - 統計學名詞。一種量度數據分佈的分散程度之標準，用以衡量數據值偏離算術平均值的程度。標準偏差越小，這些值偏離平均值就越少，反之亦然。標準偏差的大小可通過標準偏差與平均值的倍率關係來衡量。

標準差的應用分析

標準差在投資決策中的應用^[1]

　　投資是企業生產經營和發展壯大的必要手段。投資者作出投資決策時，不僅要考慮預期回報，還必須分析比較投資風險。

　　由於投資風險的客觀存在性及其對投資收益的不利性，投資者在進行投資決策時必須而且也應該對投資風險進行分析，儘可能地測定和量化風險的大小。

　　1、用標準差衡量風險大小。此時的標準差計算公式如下：

　　 $\sigma=\sqrt{\sum^{n}_{i=1}P_i(r_i-\bar{r})^2}$

　　 $\bar{r}=\sum^{n}_{i=1}P_ir_i$

　　其中

σ

為標準差，

P i

為期望投資收益率，

P i

為一系列可能性事件發生的概率，

r i

為可能性事件發生時的投資收益。標準差值越小，說明投資風險越小。

　　假設投資者要在A、B兩個項目中選擇一個或兩個項目進行投資。估計第二年每個項目的收益率可能有四個結果，每個結果都有一個確定的概率與之對應。如下表所示，表中r為收益率，p為收益率實現的可能性。

　　表1 A、B兩項目的收益率分佈

	A項目		B項目
	r	p	r	p
1	0.2	0.25	1.0	0.05
2	0.14	0.25	0.6	0.2
3	0.10	0.25	0.1	0.7
4	0.04	0.25	-1.0	0.05

　　投資項目A、B的期望收益率分別為：

　　 $\bar{r_A}=0.2\times 0.25+0.14\times 0.25+0.2\times 0.25+0.04\times 0.25=12%$

　　 $\bar{r_B}=1.0\times 0.05+0.6\times 0.2+0.1\times 0.7+(-1.0)\times 0.05=19%$

　　計算結果表明，A項目的期望收益率小於B項目。但從收益率的分佈看，A項目的收益率在4％～20%之間波動，變動範圍小；而B項目收益率從-100％到+100％，變動範圍大。收益率的變動大小反映了風險的大小，收益率變動大，風險就大。根據公式(3)計算得：

σ A = 5.83%

，

σ B = 37.80%

。這是不是說明B項目的風險更大呢?從數學角度看，B項目標準差大可能來源於B項目的各種可能收益都比較大。

　　2、標準差的局限性。當不同項目的期望回報率相同時，用標準差衡量風險程度是合適的，否則就不能再用標準差而必須用一個相對的風險指標。取標準差與期望值的比率 $CV=\sigma/\bar{t}$ ；，稱為變異繫數或標準離差，該值越大反映項目的風險越大。

　　可以計算項目A的變異繫數 $CV=\frac{5.83%}{12%}=0.487$ ,項目B的變異繫數 $CV=\frac{37.8%}{19%}=1.99$ 。這個時候就可以說B項目風險更大。

標準差在股市分析中的應用^[1]

　　股票價格的波動是股票市場風險的表現，因此股票市場風險分析就是對股票市場價格波動進行分析。波動性代表了未來價格取值的不確定性，這種不確定性一般用方差或標準差來刻畫(Markowitz，1952)。下表是中國和美國部分時段的股票統計指標，其中中國證券市場的數據由“錢龍”軟體下載，美國證券市場的數據取自ECI的“world stock Excllarlge Data Disk”。

　　表2股票統計指標

年份	業績表現		波動率
年份	上證綜指	標準普爾指數	上證綜指	標準普爾指數
1996	110.93	16.46	0.2376	O.0573
1997	-0.13	31.01	O.1188	O.0836
1998	8.94	26.67	O.0565	O.0676
1999	17.24	19.53	O.1512	0.0433
2000	43.86	-10.14	0.097	0.0421
2001	-15.34	-13.04	O.0902	O.0732
2002	-20.82	-23.37	O.0582	O.1091

　　通過計算可以得到：

　　上證綜指業績期望值≈(110.93-0.13+8.94+17.24+43.86-15.34-20.82)/7=20.67

　　上證波動率期望值≈0.1156

　　標準普爾業績期望值≈6.7214

　　標準普爾波動率期望值≈0.0680

　　而標準差的計算公式則根據公式(2)計算：

　　上證綜指的業績標準差

　　 $=\{ \frac{1}{6}[(110.93-20.67)^2+(0.13-20.67)^2+(8.94-20.67)^2+(17.24-20.67)^2+(43.86-20.67)^2+(-15.34-20.67)^2+(-20.82-20.67)^2]\}^{\frac{1}{2}}\approx 45.2457$

　　上證波動率標準差≈0.0632

　　標準普爾指數業績標準差≈21.71

　　標準普爾波動率標準差≈0.02365

　　因為標準差是絕對值，不能通過標準差對中美直接進行對比，而變異繫數可以直接比較。計算可得：

　　上證業績變異繫數≈45.2457/20.67≈2．1889

　　上證波動率變異繫數≈0.0632/0.1156≈0.5467

　　標準普爾業績變異繫數≈21.71/6.7214≈3.2299

　　標準普爾波動率變異繫數≈0.02365/0.0680≈0.3478

　　通過比較可以看出上證波動率變異繫數要大於標準普爾波動率變異繫數，說明長期來講中國股市穩定性相對較差，還是一個不太成熟的股票市場。

標準差在確定企業最優資本結構中的應用^[1]

　　資本結構指的是企業各種資金來源的比例關係，是企業籌資活動的結果。最優資本結構是指能使企業資本成本最低且企業價值最大的資本結構；產權比率，即借入資本與自有資本的構成比例，是反映企業資本結構的重要變數。企業的資產由債務性資金和權益性資金組成，但其風險等級和收益率各不相同。根據投資組合理論，投資的多樣化可以分散掉一定的風險，因此資金提供者需要決定投資於債務性資金和權益性資金的比例。以便在權衡風險和收益的情況下保證其利益的最大化。

　　理論探索而外部資金提供者利益的最大化也就是企業價值的最大化，這一投資比例對於企業融資而言也就是企業的最優資本結構比例。

　　假定某企業的資金通過發行債券和股票兩種方式獲得，並且都屬於風險性資產。

σ

其中債券的收益率為

r D

，風險通過標準差

σ D

來衡量；股票的收益率為

r E

，風險為

σ E

；股票和債券的相關係數為

p D E

，協方差為

C O V (r D, r E)

；債券所占的比重為

w D

，股票所占比重為

W E (W D + W E = 1)

。根據投資組合理論，企業外部投資者對該企業投資所獲的期望收益率為

E (r p) = W D E (r D) + w E E (r E)

，方差為 $\sigma^2=w_D^2\sigma_D^2+w_E^2\sigma^2_{E}+2p_{DE}W_E\sigma_EW_D\sigma_{Do}$

　　1、企業債務性資金和權益性資金完全正相關，即相關係數

p D E

為1。企業外部投資者獲得的期望收益率為

E (r p) = w D E (r D) + w E E (r E)

，風險標準差為

σ = w D σ D + w E σ E

,也就是組合的標準差等於各個部分標準差的加權平均值，通過投資組合不可能分散掉投資風險。根據投資組合理論，投資組合的不同比例對於投資者而言是無差異的。

　　2、企業債務性資金和權益性資金完全負相關，即其相關係數為-1。投資者獲得的報酬率的期望值及其方差分別為 $E(r_p)=w_DE(r_D)+w_EE(r_E),\sigma^2=w_{D}^2\sigma^2_{E}+2\times(-1)w_E\sigma_Ew_D\sigma_{D}$ 。

　　根據投資組合理論，只有當投資比例大於

σ E / (σ D + σ E)

時其投資組合才是有效的。對於企業籌資而言，也即企業的權益性資金的比例大幹

σ E / (σ D + σ E)

，企業的籌資比例才是有效的，而且當組合比例為

σ E / (σ D + σ E)

時，企業的籌資組合風險為零。

　　3、企業債務性資金和權益性資金的相關係數大於-1小於1。理論上，一個企業的兩種籌資方式之間的相關程度較高，一方面兩種籌資方式都承擔系統風險，另一方面它們也承擔相同的公司風險。因此從實踐來看，企業的不同籌資方式間的相關程度不可能是完全的正相關和負相關。對於一個企業而言，債務性資金對企業有固定的要求權，權益性資金對企業只有剩餘要求權，因此債務性資金的波動不可能像權益性資金的波動那麼大。同時企業的風險會同時影響企業的債務性資金和權益性資金，因此企業的債務性資金和權益性資金的相關係數不可能為負數。企業不同的籌資方式間的相關係數一般在0-1之間。

　　那麼究竟在什麼比例下企業的價值才會達到最大呢?根據投資組合理論，當

E (r 1) > E (r 2)

，且 $\sigma(r_1)\le\sigma(r_2)$ 時，才能出現

r 1

，優於

r 2

。可見，決定企業資本結構的直接因素主要是不同籌資方式的收益率和風險以及它們之間的相關係數。

參考文獻

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 陳未.淺析標準差在經濟上的應用.《當代經濟》.2009年第02期

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2013年3月18日星期一

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目錄

標準差概述

標準差的簡易計算公式

範例：標準差的計算

標準差與平均值之間的關係

標準偏差與標準差的區別